题目内容

m,n 是正整数,整式f(x)=(1+x)m+(1+x)n中x的 一次项的系数的和为17,
求:(1)f(x)中x2项的系数的最小值;
(2)对(1)中求相应的m,n的值,并求出x5的系数.
分析:(1)m,n 是正整数,整式f(x)=(1+x)m+(1+x)n中x的 一次项的系数的和为17⇒m+n=17⇒n=17-m,f(x)=(1+x)m+(1+x)n中x2项的系数为:
C
2
m
+
C
2
n
=
m(m-1)
2
+
n(n-1)
2
=
1
2
[m2+(17-m)2]-
17
2
=
1
2
×2(m2-17m)+136通过配方可求得f(x)中x2项的系数的最小值;
(2)由(1)可求得m=8,n=9或m=9,n=8,不妨令m=8,n=9,x5的系数为:
C
5
8
+
C
5
9
=
C
3
8
+
C
4
9
,其值可求.
解答:解:(1)∵m,n 是正整数,整式f(x)=(1+x)m+(1+x)n中x的 一次项的系数的和为17,
∴m+n=17,n=17-m,
∴f(x)=(1+x)m+(1+x)n中x2项的系数为:
C
2
m
+
C
2
n
=
m(m-1)
2
+
n(n-1)
2
=
1
2
[m2+(17-m)2]-
17
2
=
1
2
×2(m2-17m)+136=(m-
17
2
)
2
+
255
4

∵m,n 是正整数,故当m=8或m=9时,
C
2
m
+
C
2
n
有最小值64;
(2)当m=8,n=9,x5的系数为:
C
5
8
+
C
5
9
=
C
3
8
+
C
4
9
=56+126=182,
当m=9,n=8,x5的系数为:
C
5
9
+
C
5
8
=182.
点评:本题考查二项式定理的应用,关键在于正确理解题意,熟练应用组合数公式,着重考查配方法球最值,属于中档题.
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