Question

如图所示，已知在矩形ABCD中，AB=1，BC=a（a＞0），PA⊥平面ABCD，且PA=1．
（I）问当实数a在什么范围时，BC边上能存在点Q，使得PQ⊥QD？
（II）当BC边上有且仅有一个点Q使得PQ⊥OD时，求二面角Q-PD-A的余弦值大小．

Answer 1

分析：（I）连接AQ，由已知中PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，我们易得PQ⊥QD?AQ⊥QD，由此我们易得以AD为半径的圆与BC应该有交点，再由AB=1，BC=a，即可得到满足条件的实数a的取值范围；
（II）取AD的中点M，过M作MN⊥PD，垂足为N，连接QM，QN，根据三垂线定理，我们易判断出∠QNM为二面角Q-PD-A的平面角，解三角形QMN，即可得到二面角Q-PD-A的余弦值大小．

解答：解：（I）连接AQ，∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥QD，若PQ⊥QD成立，
即AQ⊥QD成立
∴点Q应为BC与以AB为直径的圆的公共点
∴

a

2

≥1
故满足条件的实数a的取值范围为a≥2；
（II）由已知可得，当a=2时，BC上有且仅有一点满足题意，
此时Q点为BC的中点，
取AD的中点M，过M作MN⊥PD，垂足为N，连接QM，QN
由于QN⊥平面PAD，
∴∠QNM为二面角Q-PD-A的平面角
∵MD=1，PD=

5

，且△DNM∽△DAP
∴MN=

1

5

，
从而在直角△QNM中，QN=

6

5

∴cos∠QNM=

MN

QN

=

6

6

点评：本题考查的知识点是直线与平面垂直的性质，二面角大小的求法，（I）的关键是将AQ⊥QD转化为BC与以AB为直径的圆的公共点；（II）的关键是求出二面角Q-PD-A的平面角．