题目内容
如图1所示,四边形OABC是矩形,点A、C的坐标分别为(3,0),(0,1),点D是线段BC上的动点(与端点B、C不重合),过点D作直线=-
+
交折线OAB于点E.
(1)记△ODE的面积为S,求S与的函数关系式;
(2)当点E在线段OA上时,若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1,试探究O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化,若不变,求出该重叠部分的面积;若改变,请说明理由。
(1)由题意得B(3,1).
若直线经过点A(3,0)时,则b= …………1分
若直线经过点B(3,1)时,则b= …………1分
若直线经过点C(0,1)时,则b=1 …………1分
①若直线与折线OAB的交点在OA上时,即1<b≤,如图25-a,
此时E(2b,0)
∴S=OE·CO=
×2b×1=b …………2分
②若直线与折线OAB的交点在BA上时,即<b<
,如图2
此时E(3,),D(2b-2,1)
∴S=S矩-(S△OCD+S△OAE +S△DBE )
= 3-[(2b-1)×1+
×(5-2b)·(
)+
×3(
)]=
…………2分
∴ …………1分
(2)如图3,设O1A1与CB相交于点M,OA与C1B1相交于点N,则矩形OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积即为四边形DNEM的面积。
由题意知,DM∥NE,DN∥ME,∴四边形DNEM为平行四边形…………1分
根据轴对称知,∠MED=∠NED
又∠MDE=∠NED,∴∠MED=∠MDE,∴MD=ME,∴平行四边形DNEM为菱形.
…………1分
过点D作DH⊥OA,垂足为H,
由题易知,tan∠DEN=,DH=1,∴HE=2,…………1分
设菱形DNEM 的边长为a,
则在Rt△DHM中,由勾股定理知:,∴
…………1分
∴S四边形DNEM=NE·DH=
∴矩形OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积不发生变化,面积始终为.
