Question

如图，正方形ACDE边长为1且所在的平面与平面ABC垂直，AC⊥BC，且AC=BC．
（1）求点A到面EBC的距离；
（2）求直线AB与平面EBC所成角的大小；
（3）求二面角A-E-BC的大小．

Answer 1

分析：（1）由于正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，AC⊥BC，根据面面垂直的性质可得BC⊥平面ACDE，过点A作BC的垂线，垂足为O，则AO即为点A到面EBC的距离，在正方形ABCD中，求得AO即可得出点A到面EBC的距离；
（2）连接BM，结合AM⊥平面EBC，说明∠ABM是直线AB与平面EBC所成的角，解三角形求异面直线AE和PB所成角的余弦值；
（3）过A作AH⊥EB于H，连接BM，先证得，∴∠AHM是二面角A-EB-C的平面角，再利用直角三角形中的边角关系求出其正弦值即得．

解答：解：（1）∵正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，AC⊥BC，
∴BC⊥平面ACDE，
过点A作BC的垂线，垂足为O，则AO即为点A到面EBC的距离，
在正方形ABCD中，求得AO=

2

2

即点A到面EBC的距离为：

2

2

（2）连接BM，∵AM⊥平面EBC，
∴∠ABM是直线AB与平面EBC所成的角．
设EA=AC=BC=2a，则AM=

2

a，AB=2

2

a，∴sinABM=

AM

AB

=

1

2

，
∴∠ABM=30°，即直线AB与平面EBC所成的角为30°．
（3）过A作AH⊥EB于H，连接BM．∵AM⊥平面EBC，∴AM⊥EB．
∴EB⊥平面AHM，∴EB⊥HM，∴∠AHM是二面角A-EB-C的平面角．
∵平面ACDE⊥平面ABC，∴EA⊥平面ABC，∴EA⊥AB．
在Rt△EAB中，AH⊥EB，∴AE•AB=EB•AH．
由（2）所设EA=AC=BC=2a可得AB=2

2

a，EB=2

3

a，
∴AH=

AE•AB

EB

=

2 2 a

3

=

2 6 a

3

．
∴sinAHM=

AM

AH

=

3

2

．结合图形得∠AHM=60°．即二面角A-EB-C的大小等于60°．

点评：本题考查异面直线及其所成的角、二面角等基础知识，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题，常考题型．