Question

某单位举行新年猜谜获奖活动，每位参与者需要先后回答两道选择题：问题A有四个选项，问题B有六个选项，但都只有一个选项是正确的．正确回答问题A可获奖金a元，正确回答问题B可获奖金b元．活动规定：①参与者可任意选择回答问题的顺序；②如果第一个问题回答错误，则该参与者猜奖活动中止．
（1）若a=100，b=200时，某人决定先回答问题B，则他获得奖金的期望值为多少；
（2）一个参与者在回答问题前，对这两个问题都很陌生，因而准备靠随机猜测回答问题．试确定回答问题的顺序使获奖金额的期望值较大．

Answer 1

分析：先根据题意得出：随机猜对问题A的概率P1=

1

4

，随机猜对问题B的概率P2=

1

6

，
（1）若先回答问题B，则参与者获奖金额η可取0，200，300，由η的分布列算出期望值：Eη=0×

5

6

+200×

1

8

+300×

1

24

=

75

2

元；
（2）回答问题的顺序有两种，分别讨论如下：
若先回答问题A，再回答问题B．参与者获奖金额ξ可取0，a，a+b，由ξ的分布列算出期望值Eξ=0×

1

4

+a×

5

24

+(a+b)×

1

24

=

6a+b

24

元，若先回答问题B，再回答问题A．参与者获奖金额η可取0，b，a+b，由η的分布列算出期望值Eη=0×

5

6

+b×

1

8

+(a+b)×

1

24

=

a+4b

24

元（7分）Eξ-Eη=

6a+b

24

-

a+4b

24

=

5a-3b

24

，最后比较Eξ＞Eη的大小即可得出结果

解答：解：随机猜对问题A的概率P1=

1

4

，随机猜对问题B的概率P2=

1

6

（1）若先回答问题B，则参与者获奖金额η可取0，200，300，则P(η=0)=1-P2=

5

6

，P(η=200)=P2(1-P1)=

1

8

，P(η=300)=P1P2=

1

24

∴Eη=0×

5

6

+200×

1

8

+300×

1

24

=

75

2

元（3分）
（2）回答问题的顺序有两种，分别讨论如下：
若先回答问题A，再回答问题B．参与者获奖金额ξ可取0，a，a+b，则P(ξ=0)=1-P1=

3

4

，P(ξ=a)=P1(1-P2)=

5

24

，P(ξ=a+b)=P1P2=

1

24

∴Eξ=0×

1

4

+a×

5

24

+(a+b)×

1

24

=

6a+b

24

元（5分）
若先回答问题B，再回答问题A．参与者获奖金额η可取0，b，a+b，则P(η=0)=1-P2=

5

6

，P(η=a)=P2(1-P1)=

1

8

，P(η=a+b)=P1P2=

1

24

∴Eη=0×

5

6

+b×

1

8

+(a+b)×

1

24

=

a+4b

24

元（7分）Eξ-Eη=

6a+b

24

-

a+4b

24

=

5a-3b

24

∴当

a

b

＞

3

5

时，Eξ＞Eη，先回答问题A，再回答问题B，获奖的期望值较大；
当

a

b

=

3

5

时，Eξ=Eη，两种顺序获奖的期望值相等；
当

a

b

＜

3

5

时，Eξ＜Eη，先回答问题B，再回答问题A，获奖的期望值较大．（10分）

点评：期望是概率论和数理统计的重要概念之一，是反映随机变量取值分布的特征数，学习期望将为今后学习概率统计知识做铺垫．同时，它在市场预测，经济统计，风险与决策等领域有着广泛的应用，为今后学习数学及相关学科产生深远的影响．