Question

8．已知函数f（x）=x²+2x+a，g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，
（1）若不等式f（x）＜0的解集是{x|a＜x＜1}，求a的值；
（2）若x＜0，a=4，求函数g（x）的最大值；
（3）若对任意x∈[1，+∞），不等式g（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由不等式f（x）＜0的解集是{x|a＜x＜1}知，a和1是方程x²+2x+a=0的根，代人求a
（2）利用a+b≥2$\sqrt{ab}$（a，b为正数）定理，对式子变形求解
（3）等价转换，把恒成立问题转换成最值问题解决

解答 解：由题知f（1）=0，
∴1+2+a=0
∴a=-3
（2）g（x）=$\frac{{x}^{2}+2x+4}{x}$=x+$\frac{4}{x}$+2
当x＜0时，-x＞0
∴-x+$\frac{4}{-x}$≥4
∴x+$\frac{4}{x}$+2≤-2
故g（x）的最大值为-2
（3）g（x）＞0恒成立 x∈[1，+∞）
∴f（x）=x²+2x+a＞0恒成立 x∈[1，+∞）
∴a＞-（x²+2x）恒成立
令h（x）=-（x²+2x）
∴h（x）≤h（1）=-3
∴a＞-3

点评 考察了不等式与方程的关系，两个正数的算术平均数不小于几何平均数定理和恒成立问题．