题目内容

已知双曲线W： $数学公式$ + $数学公式$ =1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，点N（0，b），右顶点是M，且 $数学公式$ • $数学公式$ =-1，∠NMF₂=120°．
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）过点Q（0，-2）的直线l交双曲线W的右支于A、B两个不同的点，若点H（7，0）在以线段AB为直径的圆的外部，求实数k的取值范围．

解：（Ⅰ）由已知M（a，0），N（0，b），F₂（c，0），
∴ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =（-a，b）•（c-a，0）=a²-ac=-1，
∵∠NMF₂=120°，∴∠NMF₁=60°，∴b= $\text{[math]}$ a，∴c²-a²=3a²，∴c=2a
∴a=1，b= $\text{[math]}$ ，
∴双曲线的方程为 $\text{[math]}$ ．（4分）
（Ⅱ）由题知，直线l的斜率存在且不为0，设为k（k≠0），直线l：y=kx-2，代入双曲线方程，消去y可得
（3-k²）x²+4kx-7=0，（6分）
设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），则 $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ ．①（8分）
∵点H（7，0）在以线段AB为直径的圆的外部，则 $\text{[math]}$ ＞0，（9分）
∴ $\text{[math]}$ =（x₁-7，y₁）•（x₂-7，y₂）=（1+k²）x₁x₂-（7+2k）（x₁+x₂）+53
=（1+k²）× $\text{[math]}$ -（7+2k）× $\text{[math]}$ +53= $\text{[math]}$ ＞0
∴k＞2 ②（11分）
由①、②得实数k的范围是（2， $\text{[math]}$ ）．（12分）
分析：（Ⅰ）利用 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =-1，可得 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =a²-ac=-1，根据∠NMF₂=120°，可得c=2a，由此可求双曲线的方程；
（Ⅱ）设直线l的方程代入双曲线方程，消去y，利用直线l交双曲线W的右支于A、B两个不同的点，确定k的范围，根据点H（7，0）在以线段AB为直径的圆的外部，可得 $\text{[math]}$ ＞0，由此可得得实数k的范围．
点评：本题考查双曲线的标准方程，考查直线与双曲线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查向量知识的运用，属于中档题．