Question

对于函数f（x）=ax²+b|x-m|+c  （其中a、b、m、c为常数，x∈R），有下列三个命题：
（1）若f（x）为偶函数，则m=0；
（2）不存在实数a、b、m、c，使f（x）是奇函数而不是偶函数；
（3）f（x）不可以既是奇函数又是偶函数．其中真命题的个数为（　　）

A．0

B．1

C．2

D．3

Answer 1

分析：（1）若f（x）为偶函数，则f（-x）=f（x），代入可求
（2）若f（x）是奇函数而不是偶函数则f（0）=b|m|+c=0且bm≠0，此时f（x）=b|x-m|-b|m|不可能是奇函数
（3）若f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）=0，只要a=b=c=0，从而可判断

解答：解：（1）若f（x）为偶函数，则f（-x）=f（x），
∴a（-x）²+b|-x-m|+c=ax²+b|x-m|+c
∴b|x-m|=b|x+m|
∴m=0或b=0
故（1）错误
（2）若f（x）是奇函数而不是偶函数则f（0）=b|m|+c=0且bm≠0
此时f（x）=b|x-m|-b|m|不可能是奇函数，故（2）正确
（3）若f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）=0
此时只要a=b=c=0，m为任意的数，故（3）错误
故选：B

点评：本题主要考查了函数的奇偶性的判断在解题中的应用，解题的关键是灵活利用奇函数与偶函数的定义．