题目内容

p:-2<m<0,0<n<1;q:关于x的方程x2+mx+n=0有两个小于1的正根.试分析p是q的什么条件.
分析:本题只能从q:关于x的方程x2+mx+n=0有两个小于1的正根入手,找出关系,p?q用特殊值法.
解答:解:若关于x的方程x2+mx+n=0有两个小于1的正根,设为x1,x2,则0<x1<1,0<x2<1,有0<x1+x2<2且0<x1x2<1.根据根与系数的关系
x1+x2=-m
x1x2=n
0<-m<2
0<n<1

即-2<m<0,0<n<1,故有q?p.
反之,取m=-
1
3
,n=
1
2
,x2-
1
3
x+
1
2
=0,△=
1
9
-4×
1
2
<0,
方程x2+mx+n=0无实根,所以p推不出q.
综上所述,p是q的必要不充分条件.
点评:韦达定理和不等关系的应用,是解决根与系数的关系问题的一般方法,特殊值法解决否定问题有独特作用.
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