Question

已知与圆C：x²+y²-2x-2y+1=0相切的直线l交x轴、y轴于A、B两点，O为坐标原点，且|OA|=a，|OB|=b（a＞2，b＞2）．
（1）求a与b满足的关系；
（2）在 （1）的条件下，求线段AB中点的轨迹方程．

Answer 1

分析：（1）由于直线与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，即可求a与b满足的关系；
（2）假设中点坐标，利用中点坐标公式及（1）的结论，可求线段AB中点的轨迹方程．

解答：解：①⊙C可化为：（x-1）²+（y-1）²=1
圆心C（1，1），r=1（3分）
由题意，直线l的方程可设为

x

a

+

y

b

=1
即 bx+ay-ab=0
∵直线与圆相切∴

|b+a-ab|

a2+b2

=1
整理得（a-2）（b-2）=2（a＞2，b＞2）（8分）
②设线段AB的中点M（x，y）
则

x= a 2 y= b 2 (a-2)(b-2)=2

将a=2x，b=2y代入得：(x-1)(y-1)=

1

2

 (x＞1， y＞1)（12分）

点评：本题以直线与圆相切为载体，综合考查直线与圆的位置关系，考查轨迹方程的求法，有一定的综合性．