Question

某市将建一个制药厂，但该厂投产后预计每天要排放大约80吨工业废气，这将造成极大的环境污染．为了保护环境，市政府决定支持该厂贷款引进废气处理设备来减少废气的排放：该设备可以将废气转化为某种化工产品和符合排放要求的气体．
经测算，制药厂每天利用设备处理废气的综合成本y（元）与废气处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为：y=

40x+1200，    0＜x＜40 2x2-100x+5000，40≤x≤80

，且每处理1吨工业废气可得价值为80元的某种化工产品并将之利润全部用来补贴废气处理．
（1）若该制药厂每天废气处理量计划定为20吨时，那么工厂需要每天投入的废气处理资金为多少元？
（2）若该制药厂每天废气处理量计划定为x吨，且工厂不用投入废气处理资金就能完成计划的处理量，求x的取值范围；
（3）若该制药厂每天废气处理量计划定为x（40≤x≤80）吨，且市政府决定为处理每吨废气至少补贴制药厂a元以确保该厂完成计划的处理量总是不用投入废气处理资金，求a的值．

Answer 1

分析：（1）根据投入资金=成本-利润，即可列式求解；
（2）根据投入资金=成本-利润，若不用投入资金，则有yx≥0，即可列出不等式，求解即可得到答案；
（3）根据题意可知，当40≤x≤80时，不等式80x+ax-（2x²-100x+5000）≥0恒成立，令g（x）=2x²-（180+a）x+5000，根据二次函数的性质，列出不等式组，求解不等式组即可得到答案．

解答：解：（1）由题意可知，当废弃处理量x满足0＜x＜40时，每天利用设备处理废气的综合成本y=40x+1200，
∴当该制药厂每天废气处理量计划为20吨，即x=20时，
每天利用设备处理废气的综合成本为y=40×20+1200=2000元，
又∵转化的某种化工产品可得利润为80×20=1600元，
∴工厂每天需要投入废气处理资金为400元；
（2）由题意可知，y=

40x+1200，    0＜x＜40 2x2-100x+5000，40≤x≤80

，
①当0＜x＜40时，令80x-（40x+1200）≥0，解得30≤x＜40，
②当40≤x≤80时，令80x-（2x²-100x+5000）≥0，即2x²-180x+5000≤0，
∵△=180²-4×2×5000＜0，
∴x无解．
综合①②，x的取值范围为30≤x＜40，
故当该制药厂每天废气处理量计划为[30，40）吨时，工厂可以不用投入废气处理资金就能完成计划的处理量；
（3）∵当40≤x≤80时，投入资金为80x-（2x²-100x+5000），
又∵市政府为处理每吨废气补贴a元就能确保该厂每天的废气处理不需要投入资金，
∴当40≤x≤80时，不等式80x+ax-（2x²-100x+5000）≥0恒成立，
即2x²-（180+a）x+5000≤0对任意x∈[40，80]恒成立，
令g（x）=2x²-（180+a）x+5000，
则有

g(40)≤0 g(80)≤0

，即

2×402-(180+a)×40+5000≤0 2×802-(180+a)×80+5000≤0

，即

a≥25 a≥ 85 2

解得a≥

85

2

，
答：市政府只要为处理每吨废气补贴

85

2

元就能确保该厂每天的废气处理不需要投入资金．

点评：本题主要考查函数模型的选择与应用．解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型．属于中档题．