Question

实数对（x，y）满足不等式组

x-y-2≤0 x+2y-5≥0 y-2≤0

，则目标函数z=kx-y当且仅当x=3，y=1时取最大值，则k的取值范围是

（-

1

2

，1）

．

Answer 1

分析：作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部．将目标函数z=kx-y对应的直线进行平移，当且仅当l经过点C（3，1）时目标函数z达到最大值，由此观察直线斜率的范围结合斜率计算公式，即可得到l斜率k的取值范围．

解答：解：作出不等式组

x-y-2≤0 x+2y-5≥0 y-2≤0

，表示的平面区域，
得到如图的△ABC及其内部，其中A（1，2），B（4，2），C（3，1）
设z=F（x，y）=kx-y，将直线l：y=kx进行平移，
可得直线在y轴上的截距为-z，因此直线在y轴上截距最小时目标函数z达到最大值
∵当且仅当l经过点C（3，1）时，目标函数z达到最大值
∴直线l的斜率应介于直线AC斜率与直线BC斜率之间，
∵k_AC=

1-2

3-1

=-

1

2

，k_BC=

2-1

4-3

=1
∴k的取值范围是（-

1

2

，1）
故答案为：（-

1

2

，1）．

点评：本题给出二元一次不等式组，讨论目标函数z=kx-y的最大值有唯一最优解的问题，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．