Question

某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产，已知该厂连续生产n个月的累计产量为f(n)=

1

2

n(n+1)(2n-1)吨，但如果产量超过96吨，将会给环境造成危害．
（1）请你代表环保部门给厂拟定最长的生产周期；
（2）若该厂在环保部门的规定下生产，但需要每月交纳a万元的环保税，已知每吨产品售价0.6万元，第n个月的工人工资为g(n)=

8

5

n2-

2

5

n-1万元，若每月都赢利，求出a的范围．

Answer 1

分析：（1）先化简得到第n个月的产量函数，再令f(n)-f(n-1)≤96，解得：-

16

3

≤n≤6；
（2）建立利润函数F(n)=

3

5

(3n2-2n)-a-g(n)，n∈N，n≤6，则F（n）＞0恒成立，求得a的范围．

解答：解：（1）第n个月的月产量=

f(1)，n=1 f(n)-f(n-1)，n∈N，n≥2

．（3分）
∵f(n)=

1

2

n(n+1)(2n-1)，∴f(1)=1，当n≥2时，f(n-1)=

1

2

(n-1)n(2n-3)，
∴f（n）-f（n-1）=3n²-2n．（6分）
令f(n)-f(n-1)≤96，即3n2-2n-96≤0，解得：-

16

3

≤n≤6，
∵n∈N，∴n_max=6．（9分）
（2）若每月都赢利，
则

3

5

(3n2-2n)-a-g(n)＞0，n∈N，n≤6恒成立．
即a＜

1

5

(n-2)2+

1

5

，n=1，2，3，4，5，6，恒成立，（12分）
令h(n)=

1

5

(n-2)2+

1

5

，n=1，2，3，4，5，6，∴n=2时h(n)最小，且h(2)=

1

5

（14分）
所以0＜a＜

1

5

．（16分）

点评：本题主要考查函数的实际应用，建模和解模的能力．