Question

2005北京高考如图，在直三棱柱ABC?A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4，点D是AB的中点.

(1)求证AC⊥BC₁;

(2)求证AC₁∥平面CDB₁；

(3)求异面直线AC₁与B₁C所成角的余弦值.

Answer 1

解析(1)∵直三棱柱ABC—A₁B₁C₁底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，

∴AC⊥BC.∵BC₁在平面ABC内的射影为BC，

∴AC⊥BC₁.

(2)设CB₁与C₁B的交点为E，连结DE(如图)

∵D是AB的中点，E是BC₁的中点，

∴DE∥AC₁.

∵DE平面CDB₁，

AC₁平面CDB₁.

∴AC₁∥平面CDB₁.

(3)∵DE∥AC₁，

∴∠CED为AC₁与B₁C所成的角.

在△CED中，ED=，CD=，

CE=，

∴cos∠CED=.

∴异面直线AC₁与B₁C所成角的余弦值为.