题目内容

若二项式(x
x
-
1
x
)6的展开式中第5项的值是5，则
lim
n→∞
(
1
x
+
1
x2
+…+
1
xn
)的值是（　　）
A、
1
2
B、-
1
4
C、2
D、不存在
分析：由题意可得5=C64(x
3
2
)2•(-
1
x
)4=15x，解得 x=3，再利用等比数列的求和公式可得，要求的式子为
lim
n→∞
1
x
(1-(
1
x
)n)
1-
1
x
=
lim
n→∞
1
3
(1-(
1
3
)n)
2
3
=
1
3
(1-0)
2
3
，运算得到结果．
解答：解：二项式(x
x
-
1
x
)6的展开式中第5项的值是5=C64(x
3
2
)2•(-
1
x
)4=15x，∴x=3．
lim
n→∞
(
1
x
+
1
x2
+…+
1
xn
)=
lim
n→∞
1
x
(1-(
1
x
)n)
1-
1
x
=
lim
n→∞
1
3
(1-(
1
3
)n)
2
3
=
1
3
(1-0)
2
3
=
1
2
，
故选  A．
点评：本题考查二项展开式的通项公式，求展开式中的某项，等比数列的求和公式，数列极限的运算法则，求出 x=3，是
解题的关键．
练习册系列答案
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若二项式(x
x
-
1
x
)6的展开式中第5项的值是5，则x=
 
，此时
lim
n→∞
(
1
x
+
1
x2
+…+
1
xn
)=
 
．
（1）若(x-
1
x
)n展开式中第5项、第6项的二项式系数最大，求展开式中x3的系数；
（2）在(x
x
+
1
x4
)n的展开式中，第3项的二项式系数比第2项的二项式系数大44，求展开式中的常数项．
若二项式（
1
x
-x
x
）n的展开式中含有x4的项，则n的一个可能值是（　　）
若二项式(x
x
-
1
x
)6的展开式中第5项的值是5，则x=______，此时
lim
n→∞
(
1
x
+
1
x2
+…+
1
xn
)=______．

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