题目内容
某高校的自主招生考试数学试卷共有8道选择题，每个选择题都给了4个选项（其中有且仅有一个是正确的）．评分标准规定：每题只选1项，答对得5分，不答或答错得0分．某考生每道题都给出了答案，已确定有4道题的答案是正确的，而其余的题中，有两道题每题都可判断其中两个选项是错误的，有一道题可以判断其中一个选项是错误的，还有一道题因不理解题意只能乱猜．对于这8道选择题，试求：（1）该考生得分为40分的概率；
（2）该考生所得分数ξ的分布列及数学期望Eξ．
分析：（1）要得40分，8道选择题必须全做对，在其余四道题中，每个题答对的概率分别为
，
，
，
．
（2）依题意，该考生得分ξ的取值是20，25，30，35，40，求出得分ξ的取每个值的概率，列出分布列，从而求得
所得分数的数学期望．
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 4 |
（2）依题意，该考生得分ξ的取值是20，25，30，35，40，求出得分ξ的取每个值的概率，列出分布列，从而求得
所得分数的数学期望．
解答：解：（1）要得40分，8道选择题必须全做对，在其余四道题中，有两道题答对的概率为
，有一道题答对的概率为
，还有一道题答对的概率为
，所以，得40分的概率为 P=
×
×
×
=
．
（2）依题意，该考生得分ξ的取值是20，25，30，35，40，得分为20表示只做对了四道题，其余各题都做错，
故所求概率为P(ξ=20)=
×
×
×
=
；
同样可求得得分为25分的概率为P(ξ=25)=
×
×
×
×
+
×
×
×
+
×
×
×
=
；
得分为30分的概率为P(ξ=30)=
；
得分为35分的概率为P(ξ=35)=
；
得分为40分的概率为P(ξ=40)=
．
于是ξ的分布列为：
故Eξ=20×
+25×
+30×
+35×
+40×
=
．
该考生所得分数的数学期望为
．
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 48 |
（2）依题意，该考生得分ξ的取值是20，25，30，35，40，得分为20表示只做对了四道题，其余各题都做错，
故所求概率为P(ξ=20)=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 2 |
| 3 |
| 3 |
| 4 |
| 1 |
| 8 |
同样可求得得分为25分的概率为P(ξ=25)=
| C | 1 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 2 |
| 3 |
| 3 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 3 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 4 |
| 17 |
| 48 |
得分为30分的概率为P(ξ=30)=
| 17 |
| 48 |
得分为35分的概率为P(ξ=35)=
| 7 |
| 48 |
得分为40分的概率为P(ξ=40)=
| 1 |
| 48 |
于是ξ的分布列为：
| ξ | 20 | 25 | 30 | 35 | 40 | ||||||||||
| P |
|
|
|
|
|
| 6 |
| 48 |
| 17 |
| 48 |
| 17 |
| 48 |
| 7 |
| 48 |
| 1 |
| 48 |
| 335 |
| 12 |
该考生所得分数的数学期望为
| 335 |
| 12 |
点评：本题考查独立事件的概率，求离散型随机变量的分布列与数学期望，求出离散型随机变量取各个值的概率，是解题的
难点．
难点．
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，参加第五项不合格的概率为
，求