题目内容

已知p:|x-4|≤6,q:x2-2x+(1-m)(1+m)≤0(m>0),
(1)当m=1时,求使得p∨q为真的x的取值范围;
(2)若?p是?q的必要不充分条件,求实数m的取值范围.
分析:(1)分别求出命题p、q为真命题时x的范围,利用复合命题真值表判断p∨q为真,则p、q至少一个为真,求满足条件的x范围的并集;
(2)根据逆否命题与原命题为等价命题,可得q是p的必要不充分条件,即满足命题q为真的x的集合是满足命题q为真的x的集合的子集,求出m满足的条件.
解答:解:(1)∵|x-4|≤6⇒-2≤x≤10.
∴命题p为真命题时,2≤x≤10;
当m=1时,不等式x2-2x≤0⇒0≤x≤2.
∴命题q为真命题时,0≤x≤2,
由复合命题真值表得,p∨q为真,p、q至少一个为真,
∴x的取值范围是0≤x≤10.
(2)若?p是?q的必要不充分条件,则q是p的必要不充分条件,
又x2-2x+(1-m)(1+m)≤0(m>0)⇒1-m≤x≤1+m,
∴m满足
1+m≥10
1-m≤0
⇒m≥9,
故实数m的取值范围m≥9.
点评:本题考查了复合命题的真假判定,考查了充分不必要条件及四种命题的真假关系,利用逆否命题与原命题同真同假,找出集合关系是解答本题的关键.
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