Question

设连接双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1与

y2

b2

-

x2

a2

=1(a＞0，b＞0)的4个顶点的四边形面积为S₁，连接其4个焦点的四边形面积为S₂，则

S1

S2

的最大值为

 

．

Answer 1

分析：根据对称性，两个四边形的面积都可以分为四个全等的直角三角形的面积，两个面积的比值用a，b表示出来，再根据基本不等式求最大值．

解答：解：设双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的右顶点为A，其坐标是（a，0），由焦点为C，坐标为(

a2+b2

，0)；
设双曲线

y2

b2

-

x2

a2

=1上顶点为B，坐标为（0，b），上焦点为D，坐标为(0，

a2+b2

)．O为坐标原点．
则S₁=4S_△OAB=2ab，S₂=4S_△OCD=2（a²+b²），
所以

S1

S2

=

ab

a2+b2

≤

ab

2ab

=

1

2

．
故答案为

1

2

．

点评：本题考查双曲线的简单几何性质和使用基本不等式求二元函数的最值．考点：圆锥曲线与方程、不等式．