Question

如图，长方形物体E在雨中沿面P（面积为S）的垂直方向作匀速移动，速度为v（v＞0），物体E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：
①P或P的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，设其值与|v-4|×S成正比，比例系数为

1

10

；
②其它面的淋雨量之和，其值为

1

2

，记y为物体E移动过程中的总淋雨量，当移动距离d=100，面积S=

3

2

时．
（Ⅰ）写出y的表达式；
（Ⅱ）设0＜v≤10，试确定移动速度v，使总淋雨量y最少．

Answer 1

分析：（Ⅰ）E移动时的总淋雨量应该等于单位时间内的淋雨量乘以所用的时间，可先求出单位时间内的淋雨量的式子，再乘以时间

100

v

即可；
（Ⅱ）根据绝对值的性质，将（Ⅰ）中的函数分解为分段函数的形式，再由v的不同取值范围讨论函数的单调性，在不同的情况下，单调区间不同，总淋雨量最小值对应的v值也不同．

解答：解：（I）由题意知，E移动时单位时间内的淋雨量为

3

20

|v-4|+

1

2

，…（3分）
故y=

100

v

(

3

20

|v-4|+

1

2

)=

5

v

(3|v-4|+10)．…（6分）
（II）由（I）知，当0＜v≤4时，y=

5

v

(22-3v)=

110

v

-15
当4＜v≤10时，y=

5

v

(3v-2)=-

10

v

+15
故y=

110 v -15，  0＜v≤4 - 10 v +15， 4＜v≤10

．…（10分）
在（0，4]上，y是关于v的减函数；在（4，10]上，y是关于v的增函数；  …（12分）
则当v=4时，ymin=

25

2

．
故移动速度v=4时，使总淋雨量y最少．…（14分）

点评：本题着重考查函数应用能力，所建立的函数式为含有绝对值的式子．解决问题的关键一是要能根据v的范围将式子化简为分段函数，二是要将常数v进行讨论得出函数的单调性，从而得出不同情形下的最小值点．