题目内容
问题“求方程3x+4x=5x的解”有如下的思路：方程3x+4x=5x可变为(
)x+(
)x=1，考察函数f（x）=(
)x+(
)x可知，f（2）=1，且函数f（x）在R上单调递减，∴原方程有唯一解x=2．仿照此解法可得到不等式：x6-（2x+3）＞（2x+3）3-x2的解是
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{x|x＜-1或x＞3}
{x|x＜-1或x＞3}
．分析：把给出的不等式变形为x6+x2＞（2x+3）3+（2x+3），然后引入函数f（x）=x3+x，由函数的单调性把不等式转化为较为简单的不等式，求解不等式得答案．
解答：解：把不等式：x6-（2x+3）＞（2x+3）3-x2变形，
得到x6+x2＞（2x+3）3+（2x+3）．
考察函数f（x）=x3+x，函数f（x）在R上为增函数，
故f（u）＞f（v）?u＞v．
不等式x6+x2＞（2x+3）3+（2x+3）中的x2看作u，2x+3看作v．
则有x2＞2x+3，解得x＜-1或x＞3．
故答案为x＜-1或x＞3．
得到x6+x2＞（2x+3）3+（2x+3）．
考察函数f（x）=x3+x，函数f（x）在R上为增函数，
故f（u）＞f（v）?u＞v．
不等式x6+x2＞（2x+3）3+（2x+3）中的x2看作u，2x+3看作v．
则有x2＞2x+3，解得x＜-1或x＞3．
故答案为x＜-1或x＞3．
点评：本题考查了简单的合情推理，解答的关键是把复杂的高次不等式通过合理变化，转化为较为简单的不等式，这里构造函数且利用函数的单调性进行转化是解答该题的着眼点，此题是中档题．
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