Question

20．已知函数f（x）（x∈R）满足f（x）=$\frac{2bx}{ax-1}$，a≠0，f（1）=1，使f（x）=2x成立的实数x只有一个．
 （Ⅰ）求函数f（x）的表达式；
（Ⅱ）若数列{a_n}满足a₁=$\frac{2}{3}$，a_n+1=f（a_n）b_n=$\frac{1}{{a}_{n}}$-1，n∈N⁺，证明数列{b_n}是等比数列，并求出{b_n}的通项公式；
（Ⅲ）在（2）的条件下，证明：a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n＜1．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由f（1）=1可得a=2b+1，再结合f（x）=2x成立的实数x只有一个解出a，b，从而求解析式；
（Ⅱ）由题意知a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{{a}_{n}+1}$（n∈N^*），b_n=$\frac{1}{{a}_{n}}$-1；从而可得$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$=$\frac{\frac{1}{{a}_{n+1}}-1}{\frac{1}{{a}_{n}}-1}$=$\frac{1-{a}_{n}}{2（1-{a}_{n}）}$=$\frac{1}{2}$，从而证明；
（Ⅲ）化简a_nb_n=1-$\frac{{2}^{n}}{{2}^{n}+1}$=$\frac{1}{{2}^{n}+1}$，从而利用放缩法证明即可．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=$\frac{2bx}{ax-1}$，f（1）=1，
∴a=2b+1，
∵f（x）=2x成立的实数x只有一个，
即$\frac{2bx}{ax-1}$=2x，2ax²-2（1+b）x=0（a≠0）只有一解，
∴b=-1，a=-1，
故f（x）=$\frac{2x}{x+1}$；
（Ⅱ）a_n+1=f（a_n）=$\frac{2{a}_{n}}{{a}_{n}+1}$（n∈N^*），b_n=$\frac{1}{{a}_{n}}$-1；
$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$=$\frac{\frac{1}{{a}_{n+1}}-1}{\frac{1}{{a}_{n}}-1}$=$\frac{1-{a}_{n}}{2（1-{a}_{n}）}$=$\frac{1}{2}$，
∴数列{b_n}是等比数列，
q=$\frac{1}{2}$，a₁=$\frac{2}{3}$，b₁=$\frac{3}{2}$-1=$\frac{1}{2}$，
故b_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$，
（Ⅲ）证明：∵a_nb_n=a_n（$\frac{1}{{a}_{n}}$-1）=1-$\frac{{2}^{n}}{{2}^{n}+1}$=$\frac{1}{{2}^{n}+1}$，
∴a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n
=$\frac{1}{2+1}$+$\frac{1}{{2}^{2}+1}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}+1}$
＜$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$＜1．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的应用及放缩法的应用，同时考查了函数的解析式的求法．