Question

设函数是在上每一点处可导的函数，若在上恒成立．回答下列问题：

（I）求证：函数在上单调递增；

（II）当时，证明：；

（III）已知不等式在且时恒成立，求证：

．

Answer 1

（I）证明见解析。

（II）证明见解析。

（III）证明见解析。

解析:

解：（1）

∴在上单调递增   4分

（2），∴，，

由（1）知

同理，∴   4分

（3）由（2）及数学归纳法易证得

（＊）

令，取则（＊）等价于

令，则

∴

∴