Question

若对于函数f（x）的定义域内的任一个x的值，均有f(x)=f(-x)=-f(x+

π

2

)，对于下列四个函数：
①y=cos²x-cos⁴x；
②y=sin⁴x-cos⁴x；
③y=sin(2x+

π

4

)+cos(2x+

π

4

)；
④y=|tanx|．其中符合已知条件的函数序号为

②③

．

Answer 1

分析：①函数f（x）=cos²x-cos⁴x，满足f（x）=f（-x），f（x+

π

2

）=f（x）；
②f（x）=sin⁴x-cos⁴x=sin²x-cos²x=-cos2x，满足f（x）=f（-x），f（x+

π

2

）=-f（x）；
③f(x)=sin(2x+

π

4

)+cos(2x+

π

4

)=

2

sin(2x+

π

2

)=-

2

cos2x，由②知符合条件；
④f（x）=|tanx|，满足f（x）=f（-x），f（x+

π

2

）=|cotx|≠-f（x），由此可得结论．

解答：解：①函数f（x）=cos²x-cos⁴x，满足f（x）=f（-x），f（x+

π

2

）=sin²x-sin⁴x=sin²xcos²x，f（x）=cos²xsin²x，∴f（x+

π

2

）=f（x），故①不符合；
②f（x）=sin⁴x-cos⁴x=sin²x-cos²x=-cos2x，满足f（x）=f（-x），f（x+

π

2

）=-cos（2x+π）=cos2x=-f（x），故②符合；
③f(x)=sin(2x+

π

4

)+cos(2x+

π

4

)=

2

sin(2x+

π

2

)=-

2

cos2x，由②知符合条件；
④f（x）=|tanx|，满足f（x）=f（-x），f（x+

π

2

）=|cotx|≠-f（x），故④不符合
综上知，符合已知条件的函数序号为②③
故答案为：②③

点评：本题考查新定义，考查三角函数的化简，解题的关键是一一验证，属于中档题．