Question

对于函数有以下四个结论：
①f（x）的定义域为R；
②f（x）在（0，+∞）上是增函数；
③f（x）是偶函数；
④若已知f（a）=m，则f（-a）=2a²-m．
正确的命题是    ．

Answer 1

【答案】分析：①根据真数大于零，可知恒成立，求出定义域为R；②根据复合函数的单调性的判定方法，同增异减，可以判定函数y=lg（）在R上是增函数，根据在同一定义域内增函数+增函数=增函数，可知函数f（x）在（0，+∞）上是增函数；③举例说明即可，验证f（-1）≠f（1），即可说明函数不是偶函数；④根据g（x）=f（x）-x²=lg（），利用奇偶性的定义判定函数是奇函数，求出g（a）=f（a）-a²=m-a²，从而求得g（-a），进而求得f（-a）的值．
解答：解：①要使函数有意义，须，而恒成立，
∴函数的定义域为R，故①正确；
②已知函数y=x²在（0，+∞）上是增函数；下面判定函数y=lg（）也是增函数，
令t=，则y=lgt在（0，+∞）上是增函数，而t=在R上是增函数，
根据复合函数的单调性可知y=lg（）在R上是增函数，
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数，故②正确；
③=，
而=，
∴f（-1）≠f（1），所以f（x）不是偶函数，故③错；
④令g（x）=f（x）-x²=lg（），则g（x）+g（-x）=lg（）+lg（）
=lg=lg1=0，
∴g（-x）=-g（x），即g（x）是奇函数；
∵f（a）=m，∴g（a）=f（a）-a²=m-a²，
∴g（-a）=-g（a）=-m+a²，
∴f（-a）=g（-a）+a²=2a²-m，故④正确；
故正确的命题是①②④，
故答案为：①②④．
点评：本题是中档题，考查对数函数的有关性质，定义域、复合函数的单调性、奇偶性等问题，利用基本函数的基本性质解答问题，是解好数学问题的关键．