题目内容

一次数学模拟考试，共12道选择题，每题5分，共计60分，每道题有四个可供选择的答案，仅一个是正确的．学生小张只能确定其中10道题的正确答案，其余2道题完全靠猜测回答．
（I）求小张仅答错一道选择题的概率；
（II）小张所在班级共有60人，此次考试选择题得分情况统计表：
得分（分） 40 45 50 55 60
百分率 15% 10% 25% 40% 10%
现采用分层抽样的方法从此班抽取20人的试卷进行选择题质量分析．
（i）应抽取多少张选择题得60分的试卷？
（ii）若小张选择题得60分，求他的试卷被抽到的概率．

解：（I）设“小张仅错一题”的事件为A
P（A）= $\text{[math]}$
∴小张仅错一题的概率是 $\text{[math]}$
（II）得60分的人数为60×0.1=6
（i）设抽x张选择题得60分的试卷，则有 $\text{[math]}$ ，故x=2
故应抽两张选择题得60分的试卷．
（ii）小张的试卷被抽中的概率为 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
分析：（I）求小张仅答错一道选择题的概率，由于那个题答对互不影响，故用独立事件的乘法公式求解即可；
（II）由题意先计算出得60分的人数（i）由分层抽样的规则按比例计算即可；（ii）小张被抽到，其余5人中再抽一人，总的抽法C₆²，概率易求．
点评：本题考查相互独立事件的概率乘法公式以及分层抽样的方法，等可能事件的概率，由于本题是一个概率应用题，故根据实际问题选择合适的概率模型是解题的关键．