Question

在直角坐标平面上，已知点A（0，2），B（0，1），D（t，0）（t＞0）．点M是线段AD上的动点，如果|AM|≤2|BM|恒成立，则正实数t的最小值是______．

Answer 1

设M（x，y），则由A、M、D三点共线可得

y-2

x

=

y

x-t

，整理可得y=

2t-2x

t

，
由两点间的距离公式，结合|AM|≤2|BM|恒成立可得x²+（y-2）²≤4[x²+（y-1）²]，
整理可得3x²+3y²-4y≥0，代入y=

2t-2x

t

化简可得（3t²+12）x²-16tx+4t²≥0恒成立，
∵3t²+12＞0，由二次函数的性质可得△=（-16t）²-4（3t²+12）•4t²≤0，
整理可得3t⁴-4t²≥0，即t2≥

4

3

，解得t≥

2 3

3

，或t≤-

2 3

3

（因为t＞0，故舍去）
故正实数t的最小值是：

2 3

3

故答案为：

2 3

3