Question

（2007•普陀区一模）顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线C过点P（4，4）．过该抛物线焦点F的直线交抛物线于A、B亮点，点M和N分别为A、B两点在抛物线准线l上的射影．准线l与x轴的交点为E．
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）某学习小组在计算机动态数学软件的帮助下，得到了关于抛物线C性质的如下猜想：“直线AN和BM恒相交于原点O”，试证明该结论是正确的；
（3）该小组孩项研究抛物线C中∠AEB的大小范围，试通过计算

EA

•

EB

的结果来给出一个你认为正确的与∠AEB有关的推论，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）由题意可可设抛物线的方程y²=2px（p＞0）由抛物线C过点P（4，4）可求p，进而可求抛物线方程
（2）可证当 x₁≠x₂时，k_OA=k_ON，说明A、O、N三点共线；当 x₁=x₂时，不难得到ABNM为矩形，且有对称性可知点O为对角线AN、BM的交点，所以此时A、O、N三点共线．
（3）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），因为AB过焦点F且F（1，0），当 x₁≠x₂时，AB所在的直线的方程y=k（x-1），k≠0，代入抛物线方程，结合方程的根与系数关系可求，当 x₁=x₂时，AB所在的直线垂直于x轴，不难求得AF=EF=EB=2，故此时∠AEB=90°

解答：解：（1）由题意可可设抛物线的方程y²=2px（p＞0）
∵抛物线C过点P（4，4）∴p=2
∴y²=4x
（2）当 x₁≠x₂时，k_OA=k_ON，所以此时A、O、N三点共线；当 x₁=x₂时，不难得到ABNM为矩形，且有对称性可知点O为对角线AN、BM的交点，所以此时A、O、N三点共线．
（3）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），因为AB过焦点F且F（1，0），
当 x₁≠x₂时，AB所在的直线的方程y=k（x-1），k≠0，代入抛物线方程可得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
所以

x1+x2= 2k2+4 k2 x1•x2=1

当 x₁=x₂时，AB所在的直线垂直于x轴，不难求得AF=EF=EB=2，故此时∠AEB=90°
综上，可提出推论“∠AEB只能是锐角或直角”

点评：本题主要考查了由抛物线的性质求解抛物线的方程，直线与抛物线的位置关系的应用，方程的根与系数关系的应用，属于综合性试题．