Question

如图2所示，在边长为12的正方形AA'A'₁A₁中，点B，C在线段AA'上，且AB=3，BC=4，作BB₁∥AA₁，分别交A₁A'₁、AA'₁于点B₁、P，作CC₁∥AA₁，分别交A₁A'₁、AA'₁于点C₁、Q，将该正方形沿BB₁、CC₁折叠，使得A'A₁′与AA₁重合，构成如图3所示的三棱柱ABC-A₁B₁C₁．
（1）在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，求证：AB⊥平面BCC₁B₁．
（2）求平面APQ将三棱柱ABC-A₁B₁C₁分成上、下两部分几何体的体积之比．
（3）在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，求直线AP与直线A₁Q所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，证明AB垂直平面BCC₁B₁内的两条相交直线BC、BB₁即可．
（2）说明AB为四棱锥A-BCQP的高，求出梯形BCQP的面积，即可求出平面APQ将三棱柱ABC-A₁B₁C₁分成上部分的体积；同理求出下部分几何体的体积，即可得到它们之比．
（3）AB，BC，BB₁两两互相垂直．以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz，求出

AP

，

A1Q

，利cos＜

AP

，

A1Q

＞求直线AP与直线A₁Q所成角的余弦值．

解答：解：（1）证明：在正方形AA'A'₁A₁中，∵A'C=AA'-AB-BC=5，
∴三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面三角形ABC的边AC=5．∵AB=3，BC=4，
∴AB²+BC²=AC²，则AB⊥BC．∵四边形AA'A'₁A₁为正方形，AA₁∥BB₁，
∴AB⊥BB₁，而BC∩BB₁=B，∴AB⊥平面BCC₁B₁．
（2）解：∵AB⊥平面BCC₁B₁，∴AB为四棱锥A-BCQP的高．
∵四边形BCQP为直角梯形，且BP=AB=3，CQ=AB+BC=7，
∴梯形BCQP的面积为SBCQP=

1

2

(BP+CQ)×BC=20，
∴四棱锥A-BCQP的体积VA-BCQP=

1

3

SBCPQ×AB=20，
由（1）知B₁B⊥AB，B₁B⊥BC，且AB∩BC=B，∴B₁B⊥平面ABC．
∴三棱柱ABC-A₁B₁C₁为直棱柱，
∴三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积为VABC-A1B1C1=S△ABC•BB1=72．
故平面APQ将三棱柱ABC-A₁B₁C₁分成上、下两部分的体积之比为

72-20

20

=

13

5

．
（3）解：由（1）、（2）可知，AB，BC，BB₁两两互相垂直．
以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz，
则A（3，0，0），A₁（3，0，12），P（0，0，3），Q（0，4，7），
∴

AP

=(-3，0，3)，

A1Q

=(-3，4，-5)，∴cos＜

AP

，

A1Q

＞=

AP • A1Q

| AP || A1Q |

=-

1

5

，
∵异面直线所成角的范围为(0，

π

2

]，
∴直线AP与A₁Q所成角的余弦值为

1

5

．

点评：本小题主要考查空间几何体中线面的位置关系，面积与体积，空间向量等基础知识，考查空间想象能力和运算求解能力．