题目内容
证明y=f (x)是奇函数的充要条件是y=f (x)的图像关于原点对称.
答案:
解析:
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充分性:如果y=f (x)的图像关于原点对称,那么y=f (x)是奇函数.在y=f (x)图像上任取一点P(x,f (x)),因为y=f (x)图像关于原点对称,所以P点关于原点的对称点(-x,-f (x))必在y=f (x)图像上.即坐标可写成(-x, f (-x))而为同一点,所以f (-x)=-f (x).所以f (x)是奇函数. 必要性:如果y=f (x)是奇函数,那么y=f (x)的图像关于原点对称. 在y=f (x)图像上任取一点M (x,f (x)),则M关于原点的对称点为(-x,-f (x)).∵ f (x)是奇函数,∴ -f (x)=f (-x) .∴ (-x,f (-x)).即也在y=f (x)图像上.所以g=f (x)图像关于原点对称.
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