Question

（2011•深圳二模）已知函数f（x）满足如下条件：当x∈（-1，1]时，f（x）=ln（x+1），x∈R，且对任意x∈R，都有f（x+2）=2f（x）+1．
（1）求函数f（x）的图象在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）求当x∈（2k-1，2k+1]，k∈N*时，函数f（x）的解析式；
（3）是否存在x_k∈（2k-1，2k+1]，k=0，1，2，…，2011，使得等式

2011

k=0

[2kxk-f(xk)]=4019×22012+2017成立？若存在就求出x_k（k=0，1，2，…，2011），若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）当x∈（-1，1]时，f（x）=ln（x+1），求出f′（0）得到切线的斜率，然后根据点斜式可求出切线方程；
（2）根据f（x+2）=2f（x）+1，所以当x∈（2k-1，2k+1]，k∈N*时，即x-2k∈（-1，1]，从而f（x）=2f（x-2）+1=2²f（x-4）+2+1=2³f（x-6）+2²+2+1=…=2^kf（x-2k）+2^k-1+2^k-2+…+2+1，代入解析式即可求出所求；
（3）考虑函数g（x）=2^kx-f（x），x∈（2k-1，2k+1]，k∈N，求导函数，根据导数符号研究函数的单调性，可以得到当x∈（2k-1，2k+1]，k∈N时，g（x）≥g（2k）=（2k-1）2^k+1，所以，

2011

k=0

[2kxk-f(xk)]=

2011

k=0

g(xk)≥

2011

k=0

[(2k-1)2k+1]，而

n

k=0

[(2k-1)2k+1]=1•21+3•22+…+(2n-1)2n+n，然后利用错位相消法求出等式右边的和，从而证得存在唯一一组实数x_k=2k，k=0，1，2，…，2011，使得等式

2011

k=0

[2kxk-f(xk)]=4019•2n+1+2017成立．

解答：解 （1）x∈（-1，1]时，f（x）=ln（x+1），f′(x)=

1

x+1

，（2分）
所以，函数f（x）的图象在点（0，f（0））处的切线方程为y-f（0）=f′（0）（x-0），即y=x．（3分）
（2）因为f（x+2）=2f（x）+1，
所以，当x∈（2k-1，2k+1]，k∈N*时，x-2k∈（-1，1]，（4分）
f（x）=2f（x-2）+1=2²f（x-4）+2+1=2³f（x-6）+2²+2+1
=…=2^kf（x-2k）+2^k-1+2^k-2+…+2+1=2^kln（x-2k+1）+2^k-1（16分）
（3）考虑函数g（x）=2^kx-f（x），x∈（2k-1，2k+1]，k∈N，
则g′(x)=2k-

2k

x-2k+1

=

2k(x-2k)

x-2k+1

，
当2k-1＜x＜2k时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；
当x=2k时，g′（x）=0；
当2k＜x＜2k+1时，g'（x）＞0，g（x）单调递增；
所以，当x∈（2k-1，2k+1]，k∈N时，g（x）≥g（2k）=（2k-1）2^k+1，
当且仅当x=2k时，g（x）=g（2k）=（2k-1）2^k+1． （10分）
所以，

2011

k=0

[2kxk-f(xk)]=

2011

k=0

g(xk)≥

2011

k=0

[(2k-1)2k+1]
而

n

k=0

[(2k-1)2k+1]=1•21+3•22+…+(2n-1)2n+n，
令S_n=1•2¹+3•2²+…+（2n-1）2ⁿ，则2S_n=1•2²+3•2³+…+（2n-1）2ⁿ⁺¹，
两式相减得，-S_n=1•2¹+2•2²+2•2³+…+2•2ⁿ-（2n-1）2ⁿ⁺¹=1•21+

2•22(2n-1-1)

2-1

-(2n-1)2n+1=-(2n-3)2n+1-6．
所以，S_n=（2n-3）2ⁿ⁺¹+6，
故

2011

k=0

[(2k-1)2k+1]=S2011+2011=4019•22012+2017．（12分）
所以，

2011

k=0

[2kxk-f(xk)]=

2011

k=0

g(xk)≥

2011

k=0

[(2k-1)2k+1=4019•2n+1+2017．
当且仅当x_k=2k，k=0，1，2，…，2011时，

2011

k=0

[2kxk-f(xk)]=

2011

k=0

g(xk)=

2011

k=0

[(2k-1)2k+1=4019•2n+1+2017．
所以，存在唯一一组实数x_k=2k，k=0，1，2，…，2011，
使得等式

2011

k=0

[2kxk-f(xk)]=4019•2n+1+2017成立．  （14分）

点评：本题主要考查了利用导数研究函数在某点处的切线，以及函数与方程的综合运用和错位相消法求和，同时考查了计算能力，属于中档题．