Question

如图所示，a是海面上一条南北方向的海防警戒线，在a上点A处有一个水声监测点，另两个监测点B、C分别在A的正东方20 km处和54 km处．某时刻，监测点B收到发自静止目标P的一个声波，8 s后监测点A，20 s后监测点C相继收到这一信号，在当时的气象条件下，声波在水中的传播速率是1.5 km/s．

(1)设A到P的距离为x km，用x表示B，C到P的距离，并求x的值；

(2)求静止目标P到海防警戒线a的距离．(精确到0.01 km)

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由题意PA－PB＝1.5×8＝12 km，PC－PB＝1.5×20＝30 km，∴PB＝x－12，PC＝x＋18． 　　在△PAB中，AB＝20，由余弦定理，得 　　 　　． 　　同理，可得． 　　又cos∠PAB＝cos∠PAC，∴． 　　解得km． 　　(2)由题意作PD⊥a，垂足为D，在Rt△PDA中，PD＝PAcos∠APD＝PAcos∠PAB＝x·≈17.71(km)．∴静止目标P到海防警戒线a的距离约为17.71 km． 　　思路分析：(1)由收到信号的先后可建立PA、PB、PC之间的长度关系，然后分别在△PAB和△PAC中，有一公共角，利用余弦定理求出cos∠PAB，cos∠PAC，可建立关于x的方程． 　　(2)由题意作PD⊥a，垂足为D，要求PD的长，只需求出PA的长及∠APD的余弦值，也即cos∠PAB的值，由(1)可求得．