题目内容

如图，单位圆（半径为1的圆）的圆心O为坐标原点，单位圆与y轴的正半轴交与点A，与钝角α的终边OB交于点B（x_B，y_B），设∠BAO=β．
（1）用β表示α；
（2）如果 $数学公式$ ，求点B（x_B，y_B）的坐标；
（3）求x_B-y_B的最小值．

解：（1）如图，∵ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ．4分

（2）由 $\text{[math]}$ ，又r=1，
得 $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ ．7分
由钝角α，
知 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ .9分
（3）【法一】 $\text{[math]}$ ，
又 $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ ，
∴x_B-y_B的最小值为 $\text{[math]}$ 13分
【法二】α为钝角，
∴x_B＜0，y_B＞0，
x_B²+y_B²=1，
x_B-y_B=-（-x_B+y_B），
（-x_B+y_B）²≤2（x_B²+y_B²）=2，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴x_B-y_B的最小值为 $\text{[math]}$ ．13分
分析：（1）作出图形，结合图形由 $\text{[math]}$ ，能求出 $\text{[math]}$ ．
（2）由 $\text{[math]}$ ，r=1，得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．由此能求出点B（x_B，y_B）的坐标；
（3）【法一】 $\text{[math]}$ ，由此能求出x_B-y_B的最小值．
【法二】由α为钝角，知x_B＜0，y_B＞0，x_B²+y_B²=1，x_B-y_B=-（-x_B+y_B），（-x_B+y_B）²≤2（x_B²+y_B²）=2，由此能求出x_B-y_B的最小值．
点评：本题考查三角函数的性质和应用，综合性强，是高考的常见题型．解题时要认真审题，仔细解答，注意三角函数恒等变换的灵活运用．