Question

现在市面上有普通型汽车（以汽油为燃料）和电动型汽车两种．某品牌普通型汽车车价为12万元，第一年汽油的消费为6000元，随着汽油价格的不断上升，汽油的消费每年以20%的速度增长．其它费用（保险及维修费用等）第一年为5000元，以后每年递增2000元．而电动汽车由于节能环保，越来越受到社会认可．某品牌电动车在某市上市，车价为25万元，购买时一次性享受国家补贴价6万元和该市市政府补贴价4万元．电动汽车动力不靠燃油，而靠电池．电动车使用的普通锂电池平均使用寿命大约两年（也即两年需更换电池一次），电池价格为1万元，电动汽车的其它费用每年约为5000元．
（1）求使用n年，普通型汽车的总耗资费S_n（万元）的表达式（总耗资费=车价+汽油费+其它费用）；
（2）比较两种汽车各使用10年的总耗资费用．（参考数据：1.2⁴≈2.11.2⁵≈2.51.2⁹≈5.21.2¹⁰≈6.2）

Answer 1

分析：（1）依题意，普通型每年的汽油费用为一个首项为0.6万元，公比为1.2的等比数列，其它费用为一个首项为0.5万元，公差为0.2万元的等差数列，故可求使用n年普通型汽车的总耗资费；
（2）由（1）知 Sn=3×1.2n+0.1n2+0.4n+9，求出普通型汽车10年总耗资费、电动型汽车使用10年的总耗资费用，即可得出结论．

解答：解：（1）依题意，普通型每年的汽油费用为一个首项为0.6万元，公比为1.2的等比数列
∴使用n年，汽油费用共计0.6(1+1.2+1.22+…+1.2n-1)=

0.6(1-1.2n)

1-1.2

=3(1.2n-1)
其它费用为一个首项为0.5万元，公差为0.2万元的等差数列，故使用n年其它费用共计0.5+(0.5+0.2)+…[0.5+0.2(n-1)]=0.5n+

n(n-1)

2

×0.2=0.1n2+0.4n
∴Sn=12+3×1.2n-3+0.1n2+0.4n=3×1.2n+0.1n2+0.4n+9（万元）
（2）由（1）知 Sn=3×1.2n+0.1n2+0.4n+9
∴S10=3×1．210+0.1×102+0.4×10+9≈3×6.2+10+13=41.6（万元）
又设T₁₀为电动型汽车使用10年的总耗资费用，则 T10=25-6-4+

10

2

×1+0.5×10=25（万元）
∵41.6-25=16.6（万元）
∴使用10年，普通型汽车比电动型汽车多花费16.6万元

点评：本题考查函数模型的构建，考查数列知识，解题的关键是构建数列模型，利用数列知识求解．