Question

某渔业公司年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞，第一年需各种费用12万元，从第二年开始包括维修费在内，每年所需费用均比上一年增加4万元，该船每年捕捞的总收入为50万元．
（1）该船投入捕捞后第几年开始赢利？
（2）该船投入捕捞多少年后，赢利总额达到最大值？

Answer 1

分析：（1）根据年初用98万元购进一艘渔船，第一年需各种费用12万元，从第二年开始包括维修费在内，每年所需费用均比上一年增加4万元，该船每年捕捞的总收入为50万元．可得该船投入捕捞n年后的赢利总额为f(n)=50n-98-[12n+

n(n-1)

2

×4]，进而可建立不等式，从而可求该船投入捕捞后第几年开始赢利；
（2）对f(n)=50n-98-[12n+

n(n-1)

2

×4]化简，再进行配方，即可求得结论．

解答：解：（1）设该船投入捕捞后第n年开始赢利，
∵年初用98万元购进一艘渔船，第一年需各种费用12万元，从第二年开始包括维修费在内，每年所需费用均比上一年增加4万元，该船每年捕捞的总收入为50万元．
∴要使该船投入捕捞后第n年开始赢利，则50n-98-[12n+

n(n-1)

2

×4]＞0
  化简得n²-20n+49＜0
解得10-

51

＜n＜10+

51

所以，第3年开始赢利；
（2）设该船投入捕捞n年后的赢利总额为f（n），则
f(n)=50n-98-[12n+

n(n-1)

2

×4]=-2n²+40n-98=-2（n-10）²+102
所以，投入捕捞10年后赢利总额达到最大．

点评：本题考查的重点是函数模型的构建，解题的关键是将实际问题转化为数学问题，利用配方法求二次函数的最值．