Question

（2012•东城区模拟）已知函数：f(x)=x-(a+1)lnx-

a

x

(a∈R)，g(x)=

1

2

x2+ex-xex
（1）当x∈[1，e]时，求f（x）的最小值；
（2）当a＜1时，若存在x1∈[e，e2]，使得对任意的x₂∈[-2，0]，f（x₁）＜g（x₂）恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求出f（x）的定义域，求导数f′（x），得其极值点，按照极值点a在[1，e]的左侧、内部、右侧三种情况进行讨论，可得其最小值；
（2）存在x1∈[e，e2]，使得对任意的x₂∈[-2，0]，f（x₁）＜g（x₂）恒成立，即 f（x）_min＜g（x）_min，由（1）知f（x）在[e，e²]上递增，可得f（x）_min，利用导数可判断g（x）在[-2，0]上的单调性，可得g（x）_min，由 f（x）_min＜g（x）_min，可求得a的范围；

解答：解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），f′(x)=

(x-1)(x-a)

x2

(a∈R)，
当a≤1时，x∈[1，e]，f′（x）≥0，f（x）为增函数，
所以f（x）_min=f（1）=1-a；
当1＜a＜e时，x∈[1，a]，f′（x）≤0，f（x）为减函数，x∈[a，e]，f′（x）≥0，f（x）为增函数，
所以f（x）_min=f（a）=a-（a+1）lna-1；
当a≥e时，x∈[1，e]，f′（x）≤0，f（x）为减函数，
所以f(x)min=f(e)=e-(a+1)-

a

e

；
综上，当a≤1时，f（x）_min=1-a；当1＜a＜e时，f（x）_min=a-（a+1）lna-1；当a≥e时，f(x)min=e-(a+1)-

a

e

；
（2）存在x1∈[e，e2]，使得对任意的x₂∈[-2，0]，f（x₁）＜g（x₂）恒成立，即 f（x）_min＜g（x）_min，
当a＜1时，由（1）可知，x∈[e，e²]，f（x）为增函数，
∴f(x1)min=f(e)=e-(a+1)-

a

e

，
g′（x）=x+e^x-xe^x-e^x=x（1-e^x），
当x∈[-2，0]时g′（x）≤0，g（x）为减函数，g（x）_min=g（0）=1，
∴e-(a+1)-

a

e

＜1，a＞

e2-2e

e+1

，
∴a∈(

e2-2e

e+1

，1)．

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性、求闭区间上函数的最值，考查分类讨论思想，考查学生分析解决问题的能力，恒成立问题往往转化为函数的最值加以解决．