Question

已知y=Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0）的图象过点P（

π

12

，0），图象上与点P最近的一个顶点是Q（

π

3

，5）．
（1）求函数的解析式；并用“五点法”画简图；
（2）指出函数的增区间；
（3）求使y≤0的x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由已知中函数的图象过两个点，可以求出A，根据两点之间的横坐标之差为四分之一个周期，可以求出函数的周期，进而得到ω的值，将 （

π

3

，5）点代入求出φ值后，即可得到函数解析式．画出函数的图象．
（2）通过正弦函数的单调增区间直接函数的增区间；
（3）根据正弦函数的小于0的范围，得到关于x的不等式，得到函数值小于0时的自变量的取值．

解答：解：（1）由已知点函数y=Asin（ωx+φ）的图象过点 P（

π

12

，0），
图象中与点P最近的最高点是 （

π

3

，5），
∴A=5，

T

4

=

π

3

-

π

12

=

π

4

∴T=π
∴ω=

2π

T

=2
∴y=5sin（2x+φ）
将 （

π

3

，5）代入解析式得
5=5sin（

2π

3

+φ）
∴

2π

3

+φ=2kπ+

π

2

，k∈z
∴φ=-

π

6

+2kπ，k∈Z
∵|φ|＜π
令k=0，则有φ=-

π

6

∴y=5sin（2x-

π

6

），
列表如下：

x	π 12	π 3	7π 12	5π 6	13π 12
2x- π 6	0	π 2	π	3π 2	2π
sin（2x- π 6 ）	0	1	0	-1	0
y	0	5	0	-5	0

（2）由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

．
得增区间为[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]．k∈Z． 
 函数的增区间：[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]．k∈Z． 
（3）∵y=sinx的满足y≤0的x的取值范围是[2kπ-π，2kπ]，k∈z
∴y=5sin（2x-

π

6

）≤0时，有2x-

π

6

∈[2kπ-π，2kπ]，
∴x∈[kπ-

5

12

π，kπ+

1

12

π]（k∈Z）．

点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，正弦函数的定义域和值域，本题解题的关键是根据已知条件求出A，ω，φ值，得到函数的解析式，这样才可以求解自变量的范围，本题是一个中档题目．