题目内容

梯形ACPD中，AD∥CP，PD⊥AD，CB⊥AD， $数学公式$ ，PC=AC=2，如图①；现将其沿BC折成如图②的几何体，使得 $数学公式$ ．
（Ⅰ）求直线BP与平面PAC所成角的大小；
（Ⅱ）求二面角C-PA-B的余弦值．

解：（Ⅰ）由题意，∵PC=AC=2，
∴ $\text{[math]}$ ，BD=2， $\text{[math]}$ ．
在△ABD中，∵AB²+DB²=AD²，∴BD⊥BA，
∴BD、BA、BC两两垂直，分别以BC、BA、BD所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系B-xyz（如图）. $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
设平面PAC的法向量为 $\text{[math]}$ =（x，y，z）， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，取 $\text{[math]}$ =（1，1，0）
设直线BP与平面PAC成的角为θ，则 $\text{[math]}$
直线BP与平面PAC成的角大小为 $\text{[math]}$ ．
（Ⅱ）设平面PAB的法向量为 $\text{[math]}$ =（x，y，z）， $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$
令z=-1，∴ $\text{[math]}$ ．
由（Ⅰ）知平面PAC的法向量为 $\text{[math]}$ =（1，1，0）．
∴ $\text{[math]}$
由图知二面角C-PA-B为锐角，
∴二面角C-PA-B的余弦值为 $\text{[math]}$ ．
分析：（Ⅰ）先判断BD、BA、BC两两垂直，再建立空间直角坐标系，求出平面PAC的法向量，利用向量的夹角公式，即可求得直线BP与平面PAC成的角大小；
（Ⅱ）求出平面PAB的法向量 $\text{[math]}$ ，平面PAC的法向量为 $\text{[math]}$ =（1，1，0），利用向量的夹角公式，即可求得二面角C-PA-B的余弦值．
点评：本题考查线面角，考查面面角，考查利用空间向量解决立体几何问题，属于中档题．