题目内容

已知函数为常数,e=2.71828…是自然对数的底数),曲线在点处的切线与x轴平行.

(Ⅰ)求k的值;

(Ⅱ)求的单调区间;

(Ⅲ)设,其中的导函数.证明:对任意.

 

【答案】

(I) .(II)见解析

【解析】(I)

由已知,,∴.

(II)由(I)知,.

,则,即上是减函数,

知,当,从而

,从而.

综上可知,的单调递增区间是,单调递减区间是.

(III)由(II)可知,当时,≤0<1+,故只需证明时成立.

时,>1,且,∴.

,则

时,,当时,

所以当时,取得最大值.

所以.

综上,对任意

 

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