Question

已知动点M到点的距离比它到y轴的距离多．
（I）求动点M的轨迹方程；
（II）设动点M的轨迹为C，过点F的直线l与曲线C交于A、B两点，若y轴正半轴上存在点P使得△PAB是以P为直角顶点的等腰直角三角形，求直线l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（I）由题知，点M到点F的距离与它到直线x=-的距离相等，根据抛物线的定义能求出点M的轨迹方程．
（II）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中点D（x，y），直线l：，联立，得，由此入手，能求出直线l的方程．
解答：解：（I）由题知，点M到点F的距离与它到直线x=-的距离相等，
根据抛物线的定义，知点M的轨迹方程为y²=2px．
（II）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中点D（x，y），直线l：，
联立，得，
则，，
∴，
=-p²，
∴，由题知，
令x=0得，，
又PA⊥PB，
∴，
化简，得y_p²-（y₁+y₂）y_p+y₁y₂+x₁x₂=0，
即3k⁶+3k⁴-4k²-4=0，
（3k⁴-4）（k²+1）=0，
解得（舍负），
∴直线l的方程：．
点评：本题主要考查抛物线标准方程，简单几何性质，直线与抛物线的位置关系，抛物线的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．