Question

如图，在底面是正方形的四棱锥P－ABCD中，PA⊥面ABCD，BD交AC于点E，F是PC中点，G为AC上一点．

(1)求证：BD⊥FG；

(2)确定点G在线段AC上的位置，使FG∥平面PBD，并说明理由；

(3)当二面角B－PC－D的大小为时，求PC与底面ABCD所成角的正切值

 

 

 

Answer 1

【答案】

(1)以A为原点，AB、AD、PA所在的直线分别为x、y、z轴，

建立空间直角坐标系A－xyz如图所示，

 

 

设正方形ABCD的边长为1，PA＝a，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，P(0,0，a)(a>0)，E，F，G(m，m,0)(0<m<)．

(1)＝(－1,1,0)，

·＝－m＋＋m－＋0＝0.∴BD⊥FG.         ………………4分

(2)要使FG∥平面PBD，只需FG∥EP，

由＝λ可得λ＝，m＝，

∴＝，

故当AG＝AC时，FG∥平面PBD.                             ………………8分

(3)设平面PBC的一个法向量为u＝(x，y，z)，

则，

∴取z＝1，得u＝(a,0,1)，

同理可得平面PDC的一个法向量v＝(0，a,1)，

设u，v所成的角为θ，则|cosθ|＝，

∴a＝1，

∵PA⊥面ABCD，∴∠PCA就是PC与底面ABCD所成的角，

∴tan∠PCA＝.

【解析】略