Question

已知f(x)=ln

1+x

1-x

，(-1＜x＜1)
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）解关于x的方程f(x)=ln

1

x

；
（3）解关于x的不等式f（x）+ln（1-x）＞1+lnx．

Answer 1

分析：（1）确定函数的定义域，验证f（x）与f（-x）的关系即可得到结论；
（2）确定x的范围，可得一元二次方程，可求方程的解；
（3）确定x的范围，可得一元一次不等式，可求不等式的解集．

解答：解：（1）函数的定义域为（-1，1）
∵f(-x)=ln

1+x

1-x

=ln

1-x

1+x

=-f(x)
∴f（x）是奇函数；
（2）由题意

-1＜x＜1 x＞0

，∴0＜x＜1
f(x)=ln

1

x

，即

1+x

1-x

=

1

x

∵0＜x＜1，∴x²+2x-1=0
∴x=-1±

2

，
∵0＜x＜1，∴x=

2

-1；
（3）由题意，

-1＜x＜1 1-x＞0 x＞0

，∴0＜x＜1
不等式f（x）+ln（1-x）＞1+lnx等价于ln

1+x

1-x

+ln（1-x）＞1+lnx
∴1+x＞ex
∴x＜

1

e-1

∵0＜x＜1，∴0＜x＜

1

e-1

∴不等式的解集为（0，

1

e-1

）．

点评：本题考查函数的奇偶性，考查对数的运算，考查解方程与不等式，属于基础题．