题目内容

某种产品的年销售量y和该年广告费用支出x有关,现收集了5组观测数据列于下表:
x/万元 2 4 5 6 8 参考数据:
5
i=1
x
2
i
=145
5
i=1
y
2
i
=13500
5
i=1
xiyi=1380
y/万件 30 40 60 50 70
现确定以广告费用支出x为解释变量,销售量y为预报变量对这两个变量进行统计分析.
参考公式:
?
b
=
n
i=1
(xi-
.
x
)(yi-
.
y
)
n
i=1
(xi-
.
x
)
2
=
n
i=1
xiyi-n
.
x
.
y
n
i=1
x
2
i
-n
.
x
2
?
a
=
.
y
-
?
b
.
x
R2=1-
n
i=1
(yi-
?
y
i
)
2
n
i=1
(yi-
.
y
)
2
.
x
=
1
n
n
i=1
xi
.
y
=
1
n
n
i=1
yi

(Ⅰ)作y和x的散点图,根据该图猜想它们之间是什么相关关系.
(Ⅱ)如果是线性相关关系,请用给出的最小二乘法公式求回归直线方程;否则说明它们之间更趋近于什么非线性相关关系.
(Ⅲ)假如2011年广告费用支出为10万元,请根据你得到的模型,预报该年的销售量y,并用R2的值说明解释变量对于预报变量变化的贡献率.
分析:(I)根据所给的对应的数据,写出对应的点的坐标,在坐标系中找出点的位置,画出散点图,根据散点图可知,它们成线性正相关关系.
(II)分别做出x,y的平均数,利用最小二乘法求出方程的系数b,再根据样本中心点在直线上做出a,写出线性回归方程.
(III)根据所求的线性回归方程,代入x=10,预报出对应的y的值,做出R2的值,解释变量对于预报变量变化的贡献率.
解答:解:(Ⅰ)散点图
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根据散点图可知,它们成线性正相关关系
(Ⅱ)由数据表知
.
x
=
1
5
(2+4+5+6+8)=5

.
y
=
1
5
(30+40+60+50+70)=50

有公式得:
?
b
=
5
i=1
xiyi-5
.
x
.
y
5
i=1
x
2
i
-5
.
x
2
=
1380-5×5×50
145-5×52
=6.5

?
a
=
.
y
-b
.
x
=50-6.5×5=17.5

因此,回归直线方程为
?
y
=6.5x+17.5

(Ⅲ)当x=10时,y=6.5×10+17.5=82.5(万元)
因此,预报该年的销量大约为82.5万件.
R2=1-
(-0.5)2+3.52+102+(-6.5)2+0.52
202+102+102+02+202
=0.84473≈0.84

因此,回归效果较好,广告费用支出能解释84%的销售量的变化.
点评:本题考查做出散点图,考查线性回归方程的求法,考查最小二乘法的应用,考查预报对应的y的结果,考查利用R2的值说明解释变量对于预报变量变化的贡献率,本题是一个综合题目.
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