题目内容
(Ⅰ)用定义证明函数f(x)=x+
在[2,+∞)上单调递增;
(Ⅱ)用(Ⅰ)的结论求y=f(2x)(x∈[0,3])的最值及相应的x的值.
4 | x |
(Ⅱ)用(Ⅰ)的结论求y=f(2x)(x∈[0,3])的最值及相应的x的值.
分析:(Ⅰ)利用函数单调性的定义证明函数单调性.
(Ⅱ)利用函数的单调性的性质求函数的最值.
(Ⅱ)利用函数的单调性的性质求函数的最值.
解答:解:(Ⅰ)证明:(I)任取x1,x2∈[2,+∞),且x1<x2,则x1-x2>0,x2x1>4,
那么 f(x1)-f(x2)=x1+
-(x2-
)=(x1-x2)-
=(x1-x2)(1-
)=
<0
即f(x1)<f(x2),
∴函数f(x)在[2,+∞)上单调递增.
(Ⅱ)令2x=t,则当x∈[0,3]时,t∈[1,8],
由(Ⅰ)知,f(t)=t+
在[2,+∞)上递增,
同理可证f(t)在(0,2]上递减,
从而f(t)=t+
在[1,2]上递减,在[2,8]上递增,
故当t=2,即x=1时,ymin=4;
又当t=1,即x=0时,y=5;
当t=8即x=3时,y=
,
∵
>4,
∴ymax=
,当x=3时取到.
那么 f(x1)-f(x2)=x1+
4 |
x1 |
4 |
x2 |
4(x2-x1) |
x1x2 |
4 |
x1x2 |
(x1-x2)(x2x1-4) |
x1x2 |
即f(x1)<f(x2),
∴函数f(x)在[2,+∞)上单调递增.
(Ⅱ)令2x=t,则当x∈[0,3]时,t∈[1,8],
由(Ⅰ)知,f(t)=t+
4 |
t |
同理可证f(t)在(0,2]上递减,
从而f(t)=t+
4 |
t |
故当t=2,即x=1时,ymin=4;
又当t=1,即x=0时,y=5;
当t=8即x=3时,y=
17 |
2 |
∵
17 |
2 |
∴ymax=
17 |
2 |
点评:本题主要考查对勾函数的性质,以及利用函数的单调性求最值,考查学生的综合应用能力.

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