题目内容

(Ⅰ)用定义证明函数f(x)=x+
4x
在[2,+∞)上单调递增;
(Ⅱ)用(Ⅰ)的结论求y=f(2x)(x∈[0,3])的最值及相应的x的值.
分析:(Ⅰ)利用函数单调性的定义证明函数单调性.
(Ⅱ)利用函数的单调性的性质求函数的最值.
解答:解:(Ⅰ)证明:(I)任取x1,x2∈[2,+∞),且x1<x2,则x1-x2>0,x2x1>4,
那么 f(x1)-f(x2)=x1+
4
x1
-(x2-
4
x2
)=(x1-x2)-
4(x2-x1)
x1x2
=(x1-x2)(1-
4
x1x2
)=
(x1-x2)(x2x1-4)
x1x2
<0

即f(x1)<f(x2),
∴函数f(x)在[2,+∞)上单调递增.
(Ⅱ)令2x=t,则当x∈[0,3]时,t∈[1,8],
由(Ⅰ)知,f(t)=t+
4
t
在[2,+∞)上递增,
同理可证f(t)在(0,2]上递减,
从而f(t)=t+
4
t
在[1,2]上递减,在[2,8]上递增,
故当t=2,即x=1时,ymin=4;
又当t=1,即x=0时,y=5;
当t=8即x=3时,y=
17
2

17
2
>4

ymax=
17
2
,当x=3时取到.
点评:本题主要考查对勾函数的性质,以及利用函数的单调性求最值,考查学生的综合应用能力.
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