Question

17．已知函数f（x）=ax³+x+1的图象在点（1，f（1））的处的切线过点（3，7）．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）求f（-4）+f（-3）+…+f（3）+f（4）的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，求得切线的斜率，由条件解方程可得a，进而得到函数的解析式；
（Ⅱ）计算f（-x）+f（x）=2，即可得到所求式的值．

解答 解：（Ⅰ）∵f′（x）=3ax²+1，
∴在点（1，f（1））的处的切线斜率为f′（1）=3a+1，
又 $f'（1）=\frac{{7-（{a+2}）}}{3-1}=\frac{5-a}{2}$，
∴$a=\frac{3}{7}$，得f（x）=$\frac{3}{7}$x³+x+1；
（Ⅱ）由f（-x）+f（x）=-$\frac{3}{7}$x³-x+1+$\frac{3}{7}$x³+x+1=2，
设S=f（-4）+f（-3）+…+f（3）+f（4），
又S=f（4）+f（3）+…+f（-3）+f（-4），
两式相加可得，2S=2×9，
解得S=9．即所求值为9．

点评 本题考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，考查函数的性质和运用，主要是奇函数的定义，属于中档题．