题目内容
若(
+
)n(n∈N*)展开式中前三项系数成等差数列,
(1)求展开式中第4项的系数和二项式系数;
(2)求展开式中的所有有理项.
x |
1 | |||
2
|
(1)求展开式中第4项的系数和二项式系数;
(2)求展开式中的所有有理项.
分析:(1)依题意,可求得n的值,再利用二项展开式的通项公式Tr+1=
•2-r•x
-
r即可求得展开式中第4项的系数和二项式系数;
(2)由其通项Tr+1=
•2-r•x4-
r(0≤r≤8)中,令4-
r为整数,即可求得相应的有理项.
C | r n |
n |
2 |
3 |
4 |
(2)由其通项Tr+1=
C | r 8 |
3 |
4 |
3 |
4 |
解答:解:(1)∵(
+
)n(n∈N*)展开式的通项公式Tr+1=
•2-r•x
-
r,
∴前三项系数分别为:1,
,
,
∵1,
,
成等差数列,
∴n=1+
,
解的n=8或n=1(舍去),
∴展开式中第4项的系数为
•2-3=56×
=7,展开式中第4项的二项式系数为
=
=56;
(2)∵n=8,
∴Tr+1=
•2-r•x4-
r(0≤r≤8),
当r=0,4,8,时,4-
r为整数,
∴展开式中的所有有理项为:T1=x4;
T5=
•2-4•x=
x;T9=2-8x-2=
.
x |
1 | |||
2
|
C | r n |
n |
2 |
3 |
4 |
∴前三项系数分别为:1,
n |
2 |
n(n-1) |
8 |
∵1,
n |
2 |
n(n-1) |
8 |
∴n=1+
n(n-1) |
8 |
解的n=8或n=1(舍去),
∴展开式中第4项的系数为
C | 3 8 |
1 |
8 |
C | 3 8 |
8×7×6 |
3×2×1 |
(2)∵n=8,
∴Tr+1=
C | r 8 |
3 |
4 |
当r=0,4,8,时,4-
3 |
4 |
∴展开式中的所有有理项为:T1=x4;
T5=
C | 4 8 |
35 |
8 |
1 |
256x2 |
点评:本题考查二项式定理的应用,考查等差数列的性质,考查方程思想与综合运算能力,属于中档题.

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