Question

已知点P为椭圆C：+=1 （b＞0）上的动点，且|OP|的最小值为1，其中O为坐标原点，则b=    ．

Answer 1

【答案】分析：根据椭圆的参数方程，设P（2cosα，bsinα），可得|OP|²=（b²+4）+（2-b²）cos2α．因为|OP|的最小值为1，所以（b²+4）-|2-b²|=1，再加以讨论即可解出b的值为1．
解答：解：∵点P为椭圆C：+=1 （b＞0）上的动点，
∴设P（2cosα，bsinα），可得
|OP|²=4cos²α+b²sin²α=（b²+4）+（2-b²）cos2α
∵|OP|的最小值为1，得|OP|²的最小值也为1
∴（b²+4）-|2-b²|=1
当b²≥4时，方程化为（b²+4）-（b²-2）=1得4=1，无实数解；
当b²＜4时，（b²+4）-（2-b²）=1，即b²=1，解之得b=1
综上所述，所求b的值为1
故答案为：1
点评：本题给出椭圆上的动点P到原点的距离最小值为1，求参数b的值．着重考查了椭圆的标准方程和简单几何性质、曲线上的点到原点最短距离求法等知识，属于中档题．