Question

在△ABC中，若S_△ABC=c²-（a-b）²，且a+b=1，
（1）求cosC；
（2）求S_△ABC的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用余弦定理及三角形的面积公式化简S=c²-（a-b）²后，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，然后求出cosC的值；
（2）根据a+b=1，利用基本不等式即可求出面积S的最大值．

解答：解：由面积公式S_△ABC=

1

2

absinC代入条件S_△ABC=c²-（a-b）²，得

1

2

absinC=c²-（a-b）²，
余弦定理c²=a²+b²-2abcosC，

1

2

absinC=c²-（a-b）²，化为

1

2

absinC=2ab（1-cosC）
∴

1-cosC

sinC

=

1

4

，令1-cosC=k，sinC=4k（k＞0）
由cos²C+sin²C=（1-k）²+（4k）²=1，得k=

2

17

，
∴sinC=4k=

8

17

．
∴cosC=1-k=

15

17

．
（2）∵a＞0，b＞0，且a+b=1，
∴S=

1

2

absinC=

4

17

ab≤

4

17

•(

a+b

2

)2=

1

17

，当且仅当a=b=

1

2

时，S_max=

1

17

．
所以三角形面积的最大值为：

1

17

．

点评：此题考查学生灵活运用余弦定理及三角形的面积公式化简求值，灵活运用同角三角函数间的基本关系化简求值，会利用基本不等式求函数的最值，是一道中档题．