Question

已知c为常数，s²=

1

n

[（x₁-

.

x

）²+（x₂-

.

x

）²+…+（x_n-

.

x

）²]，s_c²=

1

n

[（x₁-c）²+（x₂-c）²+…+（x_n-c）²]．证明：s²≤s_c²，当且仅当c=

.

x

时，取“=”．

Answer 1

分析：证明s_c²≥s²，可证明s_c²-s²≥0．因此应用方差公式进行变形得到完全平方式即可得到大于等于0．

解答：证明：∵

.

x

=

x1+x2+…+xn

n

，
∴s²=

1

n

[（x₁-

.

x

）²+…+（x_n-

.

x

）²]=

1

n

[（x₁²+x₂²+…+x_n²）-2

.

x

（x₁+x₂+…+x_n）+n

.

x

2]=

1

n

[（x₁²+x₂²+…+x_n²）-n

.

x

²]，
s_c²=

1

n

[（x₁-c）²+（x₂-c）²+…+（x_n-c）²]=

1

n

[（x₁²+x₂²+…+x_n²）-2c（x₁+x₂+…+x_n）+nc²]，
∴s_c²-s²=

.

x

²-

2c

n

（x₁+x₂+…+x_n）+c²
=

.

x

²-2c•

.

x

+c²=（

.

x

-c）²≥0．
∴s_c²≥s²，当且仅当

.

x

=c时取“=”．

点评：本题考查学生会求一组数据的平均数、方差．学生证明时，掌握作差是比较大小的常用手段．