题目内容
如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱，底面ABCD是正方形，CC1=3，CD=2，且∠C1CB=∠C1CD=60°．（1）设
| CD |
| a |
| CB |
| b |
| CC1 |
| c |
| a |
| b |
| c |
| A1C |
（2）O为四棱柱的中心，求CO的长；
（3）求证：A1C⊥BD．
分析：（1）利用空间向量的加法，可得平行六面体的体对角线，可得
=
+
+
，再利用
与
互为相反向量，就可求出
．
（2）因为O为四棱柱的中心，所以O为线段A1C的中点，所以要求CO的长，只需求出A1C的长即可．利用（1）中所求
=
+
+
，再求模即可．
（3）要证A1C⊥BD，只需证明
•
=0，即可，根据
=
+
+
，
=
-
，也即是证明(
+
+
)•(
-
)=0，再用已知计算即可．
| CA1 |
| a |
| b |
| c |
| A1C |
| CA1 |
| A1C |
（2）因为O为四棱柱的中心，所以O为线段A1C的中点，所以要求CO的长，只需求出A1C的长即可．利用（1）中所求
| CA1 |
| a |
| b |
| c |
（3）要证A1C⊥BD，只需证明
| CA1 |
| BD |
| CA1 |
| a |
| b |
| c |
| BD |
| a |
| b |
| a |
| b |
| c |
| a |
| b |
解答：解：（1）由
=
，
=
，
=
，得
=
+
+
．
所以，
=-
-
-
．
（2）O为四棱柱的中心，即O为线段A1C的中点．
由已知条件，得|
|=|
|=2，|
|=3，
•
=0，＜
，
＞=60°，＜
，
＞=60°．
根据向量加减法得
=
-
，
=
+
+
.|
|2=
2=(
+
+
)2=
2+
2+
2+2
•
+2
•
+2
•
=22+22+32+0+2×3×2×cos60°+2×3×2×cos60°=29．
∴A1C的长为
．
所以CO=
．
（3）∵
•
=(
+
+
)•(
-
)=
2+
•
-
2-
•
=22+2×3×cos60°-22-2×3×cos60°=0，
∴CA1⊥BD．
| CD |
| a |
| CB |
| b |
| CC1 |
| c |
| CA1 |
| a |
| b |
| c |
所以，
| A1C |
| a |
| b |
| c |
（2）O为四棱柱的中心，即O为线段A1C的中点．
由已知条件，得|
| a |
| b |
| c |
| a |
| b |
| a |
| c |
| b |
| c |
根据向量加减法得
| BD |
| a |
| b |
| CA1 |
| a |
| b |
| c |
| CA1 |
| CA1 |
| a |
| b |
| c |
| a |
| b |
| c |
| a |
| b |
| b |
| c |
| a |
| c |
=22+22+32+0+2×3×2×cos60°+2×3×2×cos60°=29．
∴A1C的长为
| 29 |
所以CO=
| ||
| 2 |
（3）∵
| CA1 |
| BD |
| a |
| b |
| c |
| a |
| b |
| a |
| a |
| c |
| b |
| b |
| c |
=22+2×3×cos60°-22-2×3×cos60°=0，
∴CA1⊥BD．
点评：本题考查了用空间向量判断几何中的位置关系．注意和平面向量知识相联系．
练习册系列答案
相关题目
如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱，底面ABCD是正方形，CC1=3，CD=2，且∠C1CB=∠C1CD=60°．
，试用
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；
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