Question

一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积与半球的体积恰好相等，则圆锥轴截面顶角的余弦值是

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

D
分析：设圆锥的半径为R，高为H，母线与轴所成角为θ，求出圆锥的高，利用体积相等，求出2θ的余弦值即可．
解答：设圆锥的半径为R，高为H，母线与轴所成角为θ，则圆锥的高 H=R•ctgθ
圆锥的体积 V₁=πR²•H=πR³ctgθ
半球的体积 V₂=πR³
∵V₁=V₂即：πR³ctgθ=πR³
∴ctgθ=2
∴cos2θ=
故选D．
点评：本题考查旋转体（圆柱、圆锥、圆台），棱柱、棱锥、棱台的体积，球的体积和表面积，考查计算能力，是基础题．